L'arte della logica by Eugenia Cheng

autore:Eugenia Cheng [Cheng, Eugenia]
La lingua: ita
Format: epub
editore: Ponte alle Grazie
pubblicato: 2019-03-10T22:33:24+00:00

Il paradosso di Gödel

Tutti questi paradossi si collegano, e dal punto di vista storico conducono, ai teoremi di incompletezza di Gödel. Kurt Gödel è stato un logico vissuto dal 1906 al 1978. Nel 1931 Gödel dimostrò un teorema sui limiti della matematica che si rivelò uno shock per i matematici dell’epoca. Sostanzialmente il teorema afferma che qualsiasi sistema logico coerente è destinato a contenere proposizioni che non possono essere dimostrate né vere né false, a meno che il sistema logico non sia decisamente piccolo e banale. Qui gli aggettivi «coerente» e «logico» hanno un significato formale: logico significa che il sistema è stato costruito in maniera precisa partendo da alcuni assiomi, e coerente significa che non contiene contraddizioni, di modo che se qualcosa è vero non può essere anche falso.

Ovviamente «piccolo» e «banale» sono aggettivi molto informali e danno l’idea di essere descrizioni soggettive. Tuttavia, per fare un esempio, un sistema logico che sia abbastanza grande e interessante per esprimere l’aritmetica dei numeri naturali è già destinato ad avere questa proprietà di incompletezza. La logica del primo ordine, che è priva di qualificatori, non rientra in questa categoria. Si può dimostrare infatti che la logica del primo ordine è completa, nel senso che tutto ciò che contiene può essere dimostrato vero oppure falso. Nel caso della logica del secondo ordine, questo non è possibile.

Il paradosso si riduce, un po’ come quello di Russell (si veda la prossima sezione), a questioni di autoreferenzialità. Non appena si consente a un’affermazione di fare riferimento a se stessa, si possono produrre strani anelli. Talvolta questi anelli producono strutture affascinanti come frattali o i loop infiniti nei programmi per computer. Ma gli anelli logici possono anche causarci problemi, come viene spiegato nel libro di Douglas Hofstadter intitolato Anelli nell’io.

Il teorema di incompletezza di Gödel è analizzato in maniera approfondita nel delizioso libro di Hofstadter Gödel, Escher, Bach. Qui l’autore non illustra solo il teorema di incompletezza, ma anche ogni genere di nessi affascinanti tra la logica e le strutture astratte presenti nella musica di Bach e nelle litografie di Escher, due autori le cui opere sono profondamente matematiche, pur essendo anche immensamente appaganti dal punto di vista artistico.

La dimostrazione del teorema di incompletezza comporta la costruzione di una proposizione che crea un paradosso per autoreferenza. La sua genialità e lo shock che produce derivano dal fatto di poterlo dimostrare in maniera totalmente formale all’interno di un sistema matematico, usando sostanzialmente numeri. Non è difficile, nel linguaggio di tuti i giorni, pronunciare una frase che sia indimostrabile. Un esempio è «io sono felice», ma questa affermazione è indimostrabile semplicemente perché il concetto che esprime non è abbastanza logico per poterne dimostrare la verità o la falsità usando la logica.

Prima del teorema di Gödel, molti matematici pensavano che, a differenza del mondo reale, il loro fosse un mondo perfettamente logico in cui tutto era dimostrabile. Gödel raffreddò quegli entusiasmi. In buona sostanza egli codificò in termini formali la frase:

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